金屬所三維伊辛模型精確解研究取得新進展

撰稿: 金属研究所 發布時間:2019-11-14

        2007年中國科學院金属研究所张志东研究员在英国《哲学杂志》(Philosophical Magazine)上发表论文,提出两个猜想,并在猜想基础上推定出三维伊辛模型的精确解。被《哲学杂志》审稿人评价为“过去几十年间,三维伊辛模型领域的最重要进展……可作为三维伊辛情况精确描述的一个基准”。论文发表后在国际学术界引起了强烈反响和学术争鸣。最近,张志东研究员在三维伊辛模型精确解研究方面又取得新的进展。他与日本数学家日本大学的铃木理(Osamu Suzuki)教授、英国物理学家牛津大学的诺曼·马赫(Norman H. March)教授合作,发展了一个三维伊辛模型的克利福德代数方法,通过证明四个定理,从正面支持了之前提出的两个猜想,进而表明在两个猜想基础上推定的精确解是正确的。张志东研究员在最近的工作中证明了如下四个定理:

  • 定理一 (迹不变定理):当在原始的转移矩阵中的直乘增加k项单位矩阵,三维伊辛模型的配分函数改变一个因子2k 。通过除法抵消这个2k因子,以保持迹不变。调节单位矩阵与其他矩阵的次序以分隔转移矩阵中不同排的e指数因子 (每排包含 n 个晶格点)。每排的e指数因子被单位矩阵隔离开来,以致它们可以被看成转移矩阵的分矩阵而被分别处理。
  • 定理二 (线性化定理):對三維伊辛模型的每一排的分矩陣進行一個線性化過程。局部地,每一排的分矩陣中的非線性項可以被線性化。
  • 定理三 (局域变换定理):對三維伊辛模型的每一排的分轉移矩陣進行一個局域變換。局域變換改變局部系統的規範,平庸化系統的非平庸拓撲結構,同時在三維伊辛模型的本征矢量上産生拓撲相因子。
  • 定理四 (对易性定理):在三維伊辛模型線性化過程和局域變換過程中算符的非對易性性質可以在約當-馮·諾依曼-維格納機制的框架中應用約當代數處理成對易,通過對在時空中演化的三維伊辛模型的t個系統進行時間平均來實現。

  题目为《三维伊辛模型的克利福德代数方法》的论文发表在国际数学刊物《应用克利福德代数研究进展》(Advances in Applied Clifford Algebras)上。这项工作从正面支持了张志东研究员于2007年提出的两个猜想,表明在两个猜想基础上推定的精确解是正确的。这项工作建立了拓扑量子统计物理学;利用约当代数、时间平均,在(3+1)维度的约当-冯·诺依曼-维格纳机制框架内,通过拓扑变换和规范变换来处理三维多体相互作用体系的非平庸拓扑学问题。并且发现了三维多体相互作用体系的拓扑相因子。对理解物质之间的相互作用、拓扑学对物理性质的贡献、空间的本质、时间的自发产生等具有启发性的指导作用。相关工作对凝聚态物理、统计物理、高能物理、生物、计算机科学等领域的研究有着促进作用。

  有序和無序是自然界普遍存在的兩種狀態,它們既矛盾對立又相互轉化。在兩個狀態轉變之間存在一個臨界點。臨界點附近存在著一些豐富有趣的臨界現象。臨界現象廣泛存在于自然界中,例如,鐵磁材料從順磁態到鐵磁態的轉變;某些合金從無序到有序的轉變;超導體從正常態到超導態的轉變;水以及許多液體材料的臨界點存在液態-氣態共存;液體-液體兩相體系中也存在兩相共存的臨界點,甚至生物體中DNA的折疊、病毒的傳播、人工智能體系的計算,都存在著有序和無序的相變和臨界現象。

  伊辛模型是描述臨界現象的一個基本模型,它考慮每一個自旋有兩種可能的狀態(自旋向上和自旋向下),自旋和自旋之間存在相互作用。伊辛模型可被推廣用于研究連續的量子相變、基本粒子的超弦理論、動力學臨界行爲等。原則上,伊辛模型可以描述具有兩種可能狀態的個體,個體之間存在相互作用組成的多體體系。它甚至可以描述森林火災、交通堵塞、股市漲落、輿情傳播等社會學、經濟學現象。

  1920年德國科學家楞次教授提出“伊辛模型”,1925年楞次教授的學生伊辛發表了一維伊辛模型的精確解,所以該模型也被稱爲“楞次-伊辛模型”。這個方面的一個重要進展發生在1944年,美國科學家昂薩格教授得出了二維伊辛模型的精確解,第一次顯示從非奇異性的哈密頓量出發可以在臨界點出現物理函數的奇異性,被視作統計物理的重大進展。但是昂薩格的求解方法無法直接應用到三維伊辛模型的精確求解,遇到的根本性困難是在三維伊辛模型中存在著拓撲學問題。這個問題困擾了學術界近百年。

  張志東研究員在科學網博客中以《追夢之旅》、《激辯猜想》、《終結猜想》三個系列的博文對三維伊辛模型精確解的求解過程和相關結果進行了科普。歡迎廣大同行和科學愛好者對此項工作開展進一步的學術討論和交流。

  三維伊辛模型精確解研究相關論文鏈接:

  1. 提出兩個猜想:Z.D. Zhang, Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. 鏈接1 
  2. 初探數學結構:Z.D. Zhang, Chinese Physics B 22 (2013) 030513. 鏈接2
  3. 證明四個定理:Z.D. Zhang, O. Suzuki and N.H. March, Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12. 鏈接3

 

  三維伊辛模型的精確解:不同相互作用參數條件下比熱與溫度的依賴關系